Hoe kan je berekenen of een driehoek rechthoekig is?

Hoe Werkt de Stelling van Pythagoras? (Uitleg + Voorbeelden) Met behulp van de stelling van Pythagoras kan je de lengte van een zijde in een rechthoekige driehoek berekenen. Deze stelling, a 2 + b 2 = c 2, is één van de bekendste stellingen in de wiskunde.

Wie heeft de stelling van Pythagoras bedacht?

‘Pythagoras bedacht beroemde stelling niet als eerste’ Misschien bent u ze intussen al vergeten, maar in de middelbare school is ze normaal gezien wel via de wiskundeboeken gepasseerd: de stelling van Pythagoras. Maar mogelijk is die wiskundige stelling niet écht van Pythagoras, zo blijkt uit een ontdekking door Australische onderzoekers. Maar uit een ontdekking van onderzoekers van de Universiteit van Nieuw-Zuid-Wales blijkt dat de stelling mogelijk al langer bestond. Ze vonden namelijk op een kleitablet dat dateert uit de tijd van de Babyloniërs dezélfde formule. Het kleitablet werd vermoedelijk gebruikt als rekentool om tempels en paleizen te bouwen.

Het kleitablet werd al in 1921 gevonden, in Irak. Het is volgens wetenschappers een van de meest accurate goniometrische tabellen ooit. Het staat vol getallen en formules, en de onderzoekers van de Australische universiteit hebben, in Babylonisch spijkerschrift, nu dus ook de formule van Pythagoras ontdekt op het klei.

Nochtans dateert het kleitablet van 3.700 jaar geleden. Dat wil dus zeggen dat de formule dus ook al zo’n 1.000 jaar eerder bestond dan toen Pythagoras ze in de wiskunde formuleerde én dat de stelling dus mogelijk niét van Pythagoras is. : ‘Pythagoras bedacht beroemde stelling niet als eerste’

Wat betekent 5% helling?

Hellingsgraden In de trailwereld, of langs de weg, worden hellingsgraden meestal aangeduid in procent. In school hebben we altijd driehoeksmeetkunde gehad met graden. Wat doen we daarmee en wat wilt dat allemaal zeggen? De meest voorkomende vragen zijn dan ook: Is 100% stijgen gelijk aan 90° en kunnen we ook meer dan 100% stijgen?

Indien we 5% stijgen, zitten we 5 meter hoger indien we 100m via horizontale richting hebben afgelegd. Indien we 100% stijgen, leggen we zowel in verticale als horizontale richting evenveel weg af, wat dus wil zeggen een hoek van 45°.100% stijging komt dus overeen met een hoek van 45° en niet van 90°. Bij een hoek van 90° leggen we enkel maar verticale afstand af en geen horizontale. Delen door 0 mag niet in de wiskunde. Indien we nu een hoek nemen die een heel klein beetje kleiner is dan 90° zullen we een heel kleine horizontale afstand afleggen en een grote verticale afstand. As we die delen door elkaar zullen we dus een enorm groot getal krijgen. Een hoek van 90° is dus een oneindige stijging in %.

Gelukkig (voor sommige misschien ongelukkig) bestaat er wiskunde en heeft Pythagoras, een 500 tal jaar voor de start van onze tijdsrekening, ons een stelling bezorgd waar we nog altijd plezier aan beleven om zo’n zaken te berekenen. Indien we 3000m hebben afgelegd en daardoor 300m hoger staan hebben we 2985m horizontale weg afgelegd, want dan weer overeenkomt met een stijging van 10,05%, Omdat bij kleine hoeken de tangens bijna gelijk is aan de sinus kunnen we ook daarmee eens rekenen. De sinus bekom je door het hoogteverschil te delen door de schuine zijde (effectieve afstand). Dus in hetzelfde voorbeeldje hebben we nu: (300m/3000m)*100% => 10% ten opzicht van 10,05%. We zien dus dat er inderdaad heel weinig verschil opzit. Hieronder vind je dan ook een overzichtje waar je kan vaststellen dat de verschillen tot 40° te verwaarlozen zijn.

Hellingsgraden

Hoeveel graden is een n hoek?

In een n-hoek is de som van de n hoeken gelijk aan (n – 2).180°. In een regelmatige n-hoek is: – de middelpuntshoek = 360° / n.

Hoeveel graden is de hoek om 1 uur?

Een klok heeft 2 wijzers die rond draaien. Soms ook nog een derde, seconden wijzer, maar met 2 wijzers gaat het lezen van de tijd gewoon, prima. Tijdens het ronddraaien van de kleine- en de grote wijzer komen deze soms exact boven elkaar te liggen en lijkt het net of er maar één wijzer op de klok zit.

1. Een klok en een volledige cirkel hebben beide een 60-tallig getallenstelsel als basis.
2. Welke afstand/hoek leggen de beide wijzers af binnen één uur.
3. Maak gebruik van de algemene lineaire vergeling y=ax+b.

De oplossing Een klok en een cirkel zijn allebei rond. Van een cirkel weten we dat er totaal 360° graden. En wanneer we dan naar een klok kijken zien we dat 12 uur gelijk is aan een hoek van 0° graden. Om 3 uur op de klok is er een hoek gemaakt van 90° graden en bij 6 uur zelfs 180° graden.

• Wat we ook zien is dat we de 90° gradenhoek ook eenvoudig kunnen opdelen in 3 gelijke hoeken, namelijk 30° graden.
• En deze zijn weer gelijk aan 1 en 2 uur of 4 en 5 uur.
• Een conclusie die we nu voorzichtig kunnen trekken is dat de hoek in graden gelijk is aan de tijd in uren, minuten en seconden.
• En dat is ook zo want beide zijn gebaseerd op een oud 60-tallig stelsel wat vroeger veel gebruikt werd en in sommige dagelijkse zaken nog steeds.

Klik maar eens het plaatje hiernaast om meer te leren over dit oude getallenstelsel. De hoeken die de kleine- en de grote wijzer binnen een uur op een klok afleggen verschillen. Zo gaat de grote wijzer binnen één uur helemaal rond, dus 360° graden. De kleine wijzer gaat dan van bijvoorbeeld 1 naar 2 uur of van 4 naar 5 uur en dat is in het totaal maar een hoek van 30° graden.

Wat we ook weten is waar de wijzers beginnen. De grote wijzer begint op de 12 uur en dus 0° graden. De kleine wijzer begint om 12 uur ook op 0° graden maar wanneer het 3 uur is dan start de kleine wijzer op 90° graden. In ons rekenvoorbeeld beginnen we echter één uurtje verder op 4 uur dus wordt het 90°+30°=120° graden.

Nu we weten dat de tijd en de hoek van de wijzers een onderlinge relatie met elkaar hebben, kunnen we verder. We weten ook dat de tijd niet opeens sneller of langzamer gaat verlopen en dus keurig dag in en dag uit met dezelfde constante snelheid voorbij gaat.

Dit noemen we ook wel een lineair verloop. En dus kunnen we vanuit de wiskunde lessen de hoofdstukken van de lineaire vergelijkingen erbij pakken. Want we hadden hier een algemene vergelijking voor, namelijk: y = ax + b. De betekenis van de vijf letter in deze algemene vergelijking kennen we natuurlijk allemaal nog.

Maar voor de zekerheid zetten we hieronder alles nog eens op een rijtje:

• y is de uitkomst van de vergelijking,
• x is de waarde waarvan we de uitkomst ‘y’ willen weten. Bijvoorbeeld: we lopen 5 kilometer per uur en hoeveel kilometer hebben we na 2 uur gelopen?
• a is het ‘stijggetal’ of de ‘richtingscoëfficiënt’ zoals het in de wiskunde genoemd wordt. In het bovenstaande voorbeeld is dat dus 5! Want per uur komt er 5 kilometer bij, dus het stijgt steeds met 5 kilometer per uur.
• b is de startwaarde van de vergelijking. Stel we zijn al 10 kilometer van huis en we lopen nu met een snelheid van 5 kilometer per uur, wat is dan de afstand van huis na 3 uur te hebben gelopen? Juist ja, 25 kilometer.

We kunnen nu deze 4 letters gaan koppelen aan onze opgave. Zo weten we dat:

1. b is dus de starthoek van de kleine- en grote wijzer van de klok, in ons geval voor de kleine wijzer 120° graden en voor de grote wijzer 0° graden.
2. a is dus de stijging van de hoek per uur en dat kunnen we ook per 60 minuten doen. Zo krijgen we dus per 60 minuten een stijging van 30° graden voor de kleine wijzer, oftewel 30/60. Voor de grote wijzer is dit 360/60.
3. x is dus de tijd in minuten, want de uren weten we al.
4. y is dus de hoek die we na een aantal minuten meten van de verschillende wijzers van de klok ten opzichte van de nulstand, 12 uur, van de klok.

En met deze 4 gegevens voor de 4 verschillende letters kunnen we dus de vergelijkingen voor de kleine- en de grote wijzer gaan maken:

• kleine wijzer: hoek k = 30°/60 x minuten + 120° => hoek k = 1 / 2 x minuten + 120°
• grote wijzer: hoek g = 360°/60 x minuten + 0° => hoek g = 6 x minuten

Nu we 2 verschillende vergelijkingen hebben kunnen we het laatste gegeven uit de vraag gaan toepassen: Wanneer liggen de beide wijzers exact boven elkaar? Dat betekent dat de hoek die de kleine- en de grote wijzer maken precies gelijk zijn en dus kunnen we zeggen dat hoek k = hoek g, En dus kunnen we de vergelijkingen gelijk aan elkaar stellen en dat geeft dan het volgende: hoek k = hoek g => 1 / 2 x minuten + 120° = 6 x minuten => 120° = 6 x minuten – 1 / 2 x minuten => 120° = 5 1 / 2 x minuten => 120° / 5 1 / 2 = minuten => 21,818181. minuten Dus na 21 minuten en een paar seconden liggen de beide wijzers van de klok precies boven elkaar. Om de seconden ook precies te bereken kunnen we het restant, 0,818181. vermenigvuldigen met 60 om zo 49,09 seconden te verkrijgen. De exacte tijd is dus 4 uur, 21 minuten en 49,09 seconden: 04:21:49,09. Met deze oplossing hebben we eigenlijk ook direct het antwoord gegeven op het tweede deel van de opgave: kun je je het ook voor elk heel uur berekenen? Want in de bovenstaande oplossing staat namelijk dit deel: 120° / 5 1 / 2 = minuten. Het getal 120° is de startwaarde van de vergelijking dus is de vergelijking eigenlijk startwaarde / 5 1 / 2 = minuten.