Wil jij erachter komen wat asymptoten nou eigenlijk zijn, en hoe je ze kan gebruiken? – Mr. Chadd legt het voor je uit in dit artikel! Asymptoten Asymptoten zijn eigenlijk lijnen waar een grafiek ‘langs loopt’ De grafiek zit voor een lange tijd in de buurt van de lijn, maar raakt de lijn net niet aan. Je ziet het vooral bij hyperbolische formules, zoals y = 1/x, Als x hier heel groot is, is y bijna 0, maar net niet helemaal! De formule heeft dus een asymptoot bij y = 0. Verticale asymptoten Om de verticale asymptoot te bepalen, kan je kijken waar y oneindig groot wordt. Dat kan je doen door te kijken voor welke x de noemer van de breuk gelijk is aan 0. Delen door 0 is namelijk niet mogelijk, want dan wordt de breuk oneindig groot.

Bij een formule als y = 2x-3/3x-6 kan je de verticale asymptoot bepalen door 3x -6 = 0 op te lossen. Dit geeft 3x = 6, dus de verticale asymptoot zit hier op x = 6 : 3 = 2. Horizontale asymptoten Om de horizontale asymptoot te bepalen, kan je kijken wat er gebeurt als x heel erg groot wordt. Je kan voor x een getal als 100.000 invullen, en dan kijken wat er gebeurt met y.

Als je bij een formule als y = 2x-3/3x-6 een hele grote waarde van x invult, krijg je bijvoorbeeld y = 2 100.000-3/3 100 000-6, Je ziet dan dat de -3 en de -6 eigenlijk bijna niet meer uitmaken. Je kan de formule dus benaderen tot y = 2x/3x = 2/3, De horizontale asymptoot zit dus op y = 2/3,

Voorbeeld Je hebt de formule y = 2x 2 +3 ÷ x 2 -1 en je wil de asymptoten weten, hoe ga je dan te werk? De verticale asymptoten kan je vinden door x 2 – 1 = 0 te berekenen. Dit geeft *x *2 = 1, dus de verticale asymptoten zitten bij x = 1 en x = -1. Voor de horizontale asymptoten kan je een hele grote waarde van x invullen, zoals x = 100.000.

Dan krijg je y = 2**100.000 2 +3 ÷ 100.000 2 -1 ≈ 2/1 =2, De horizontale asymptoot zit dus bij y = 2. Nu weet je alle asymptoten van deze formule: x = 1, x = -1 en y = 2. Oefenvragen Wat zijn de horizontale en verticale asymptoten van de volgende formules:

y = 8-3x/4x+2 y = 2 + 4x+8/2x-5 y = x+1/x 2 -4 y = -2+3x 2 -4/x 2 -9

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar: Limieten Transformaties en translaties Hoe stel je de formule van een raaklijn op?

Hoe bereken je de horizontale en verticale asymptoot?

Scheve asymptoten Je berekent de lim van f(x)/x voor x gaande naar + oneindig (ook voor x gaande naar – oneindig). Deze waarde noem je a. Daarna bereken je ook de lim van f(x)-a·x voor x gaande naar + oneindig (en ook voor x gaande naar – oneindig).

Wat is een horizontale asymptoot?

horizontale asymptoten

Horizontale asymptoten. © h.hofstede ([email protected])

/td> VRAAG 1: WAT ZIJN DAT? In het algemeen zijn asymptoten rechte lijnen waar de grafiek van een functie “langs gaat lopen”. Dat betekent dat de grafiek zo’n rechte lijn steeds dichter en dichter nadert, en er willekeurig dicht bij komt, maar hem nooit snijdt. Hieronder zie je vier voorbeelden van horizontale asymptoten. De horizontale asymptoot is steeds als rode stippellijn getekend. Een pijl aan de grafiek geeft aan dat daar sprake is van een horizontale asymptoot. Je ziet dat een grafiek soms aan beide zijkanten een asymptoot heeft, soms maar aan één zijkant. Verder zie je in de figuur linksonder dat een grafiek de asymptoot best kan snijden. Als de grafiek aan een zijkant maar langs de asymptoot gaat lopen; ergens anders mag hij hem best snijden. VRAAG 2: HOE SPOOR IK ZE OP? Dat hebben we eigenlijk hierboven al ontdekt. Horizontale asymptoten zitten altijd “aan de zijkant van de grafiek” Eigenlijk zie je in de grafieken bij zo’n asymptoot het volgende verschijnsel:

“Als je x maar ver genoeg naar rechts of naar links kiest, dan wordt y uiteindelijk een constant getal”

/td> En dat geeft ons ook meteen de manier om asymptoten op te sporen. Neem voor x een getal ver genoeg naar rechts of naar links (dus bijvoorbeeld 1000000000 of -1000000000) en vul dat in in de formule. Als de y -waarde een (ongeveer) constant getal wordt, dan is er sprake van een horizontale asymptoot. Als de y -waarde ook heel groot of heel klein wordt zal dat niet zo zijn. Conclusie:

Vul voor x een erg groot (positief of negatief) getal in. Kijk of er een constante y uitkomt.

/td>

1. Geef de horizontale asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
	a. y = 4 • 2 x – 3		d. y = (2 x – 4) / (6 – 6 x )
	b. y = 5 + 3 / x
	c. y = 4 + 2 x / ( x – 200)		f. y = x • 2 x
2.	Als een blikje frisdrank uit de koelkast gehaald wordt, dan warmt het op. In het begin redelijk snel, maar naarmate het verschil tussen de temperatuur van het blikje en de temperatuur van de kamer steeds kleiner wordt, gaat dat opwarmen ook steeds langzamer. De volgende formule blijkt te gelden:
	T( t ) = 21 – 15 • 0,96 t
	Daarin is T de temperatuur van het blikje en t de tijd in minuten met t = 0 het moment van uit de koelkast halen.
	a. Hoe hoog is de temperatuur binnen in de koelkast?
	b. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van T? Wat stelt dit in praktijk voor?
3.	Als de temperatuur hoger wordt, wordt het gevaar van blauwalg in openlucht zwemwater ook groter. In de zomer en nazomer kan dat grote overlast bezorgen. De optimale groeiomstandigheden zijn een temperatuur tussen de 20°C en 25°C en mineraalrijk water. In verband met de gezondheid wordt aangeraden niet te zwemmen in gebieden met te veel blauwalg. De blauwalgen kunnen giftige stoffen afscheiden die leiden tot hoofdpijn, huidirritatie, misselijkheid, diarree en koorts. Een bioloog heeft voor het gewichtspercentage blauwalg in het water tijdens een blauwalg-plaag het volgende model opgesteld:

/td> P is het gewichtspercentage blauwalg, en t de tijd in dagen. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van P( t )? Wat stelt dat in praktijk voor? 4. Een vrachtwagenchauffeur moet voor een transport een grote berg oversteken. De route omhoog is 50 km, en die omlaag is ook 50 km. De chauffeur weet dat hij bij de weg omhoog een kleinere gemiddelde snelheid zal halen dan bij de weg omlaag. Hij wil graag over het hele traject (omhoog en omlaag samen) een gemiddelde van 60 km/uur halen. Daarbij telt hij alleen de pure rijtijd. Bovenop de berg is namelijk een wegrestaurant, en daar wil hij even pauzeren, maar die tijd telt hij niet mee. In het wegrestaurant boven ziet hij dat hij over de route omhoog precies 75 minuten heeft gedaan. Dat is exact 40 km/uur. Hij denkt dat hij omlaag dan met 80 km/uur zal moeten rijden om totaal een gemiddelde van 60 te halen, maar een nadere berekening toont aan dat dat niet zo is! a. Laat met een berekening zien dat 80 km/uur omlaag niet genoeg is voor in totaal 60 km/uur. De man probeert een formule op te stellen voor de totale gemiddelde snelheid (V tot ) als functie van de gemiddelde snelheid bij het afdalen ( v ). Hij komt uit op: b. Leid deze formule ook zelf af. c. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van deze functie? Wat stelt dat in praktijk voor?

/td> BEREDENEREN is mooier dan INVULLEN Soms kun je zonder zo’n grote x in te vullen toch aan de formule zien waar een horizontale asymptoot zal zitten. Neem de volgende functie:

/td> Ziet er vrij moeilijk uit, maar toch kun je eenvoudig beredeneren wat de horizontale asymptoot van deze grafiek zal zijn. Dat gaat als volgt. Bekijk de teller en de noemer eens apart. Eerst maar de noemer. Wat gebeurt daarmee als x heel heel heel groot wordt? Nou, dan doet de 32 er niet veel meer toe, vergeleken met de 8 x 2 is die wel te verwaarlozen. De noemer zal ongeveer gelijk worden aan 8 x 2 Dan de teller. Als x heel groot wordt, dan kun je zelfs die 3 x wel verwaarlozen ten opzichte van de 2 x 2 Neem x bijvoorbeeld een miljoen. Dan is 3 x wel gelijk aan 3000000 maar 2 x 2 is gelijk aan 2000000000000. De teller wordt dus ongeveer gelijk aan -2 x 2 Conclusie: er staat ongeveer En dat is gelijk aan -2 / 8 = -0,25. De horizontale asymptoot zal de lijn y = -0,25 zijn. Hiernaast zie je dat dat inderdaad klopt.

5. Beredeneer wat de horizontale asymptoten van de grafieken van de volgende functies zullen zijn. Controleer je antwoord na afloop met je Grafische Rekenmachine.
	a.	y = 6 – 5 / x
	b.
	c.
	d.	y = 3 • 0,8 x + 2
	e.	y = 5 • 2 – x

/td> © h.hofstede ([email protected])

horizontale asymptoten

Welke functies hebben een horizontale asymptoot?

rationale functies rationale functies wiskunde-interactief.be

– We laten x onbeperkt toenemen (in positieve en negatieve zin) en onderzoeken de functiewaarden. Als deze functiewaarden een reëel getal a naderen, dan heeft de grafiek een horizontale asymptoot (HA). – De vergelijking van een HA is steeds van de vorm y = a, (alle punten op de asymptoot liggen even hoog, hebben dus dezelfde y-coordinaat)

ul> In de plaats van een horizontale asymptoot kan een rationale functie een schuine asymptoot hebben. Verken de verschillende mogelijkheden in onderstaand applet Meer details over berekenen van SA vind je op de pagina

: rationale functies

Kan een functie een horizontale en schuine asymptoot hebben?

Antwoord – Een grafiek kan meerdere verticale asymptoten hebben. Een functie heeft een verticale asymptoot voor x a als a een nulpunt is van de noemer en geen nulpunt is van de teller. Als de noemer van de n-de graad zijn er n verschillende nulpunten mogelijk en dus ook n verschillende verticale asymptoten.

• Een functie kan maximaal twee horizontale of schuine asymptoten hebben.
• Een functie heeft een horizontale asymptoot als x + of als x – Voor x + kan er slechts n horizontale asymptoot zijn.
• Dit is een gevolg van het feit dat een functie voor een bepaalde waarde van x slechts n beeld kan hebben.
• Als de functie een horizontale asymptoot heeft, kan er daarom ook geen schuine asymptoot meer zijn.

Ook voor x – kan er slechts n horizontale of schuine asymptoot zijn. Deze twee asymptoten kunnen samenvallen (bij rationale functies), maar kunnen ook verschillend zijn (o.a. soms bij irrationale functies). home | vandaag | bijzonder | gastenboek | statistieken | wie is wie? | verhalen | colofon ©2001-2023 WisFaq – versie 3

Wat is de verticale asymptoot?

verticale asymptoten

Verticale Asymptoten. © h.hofstede ([email protected])

/td> Een verticale asymptoot van een grafiek is een verticale rechte lijn waar die grafiek langs gaat lopen. Hieronder zie je een aantal mogelijkheden. De verticale asymptoot is steeds de gestippelde rode lijn. Zoals je ziet heeft de laatste grafiek zelfs twee verticale asymptoten. WAAR KOMEN WE DIE DINGEN TEGEN? Er zijn een paar speciale gevallen, die we later zullen bestuderen bij logaritmen en tangens, maar de meest voorkomende plaats waar verticale asymptoten opduiken is als we delen door NUL. en DAT MAG NIET! Voor de x -waarden waarbij er door nul wordt gedeeld is er dus geen uitkomst, dus ook geen bijbehorende y -waarde. Dat betekent dat de grafiek bij die x -waarde niet kan bestaan. WAAROM KUN JE NIET DOOR NUL DELEN? Dat zit hem eigenlijk in de definitie van “delen”. Kijk, wij leerden op de basisschool dat 6 : 2 = 3 omdat 3 • 2 = 6 Proberen we op precies dezelfde manier 4 : 0 = ? dan moet er gelden ? • 0 = 4. En dat kan niet, want iets keer 0 is altijd 0. Daarom kan er uit 4 : 0 geen antwoord komen. Je bent eigenlijk aan het proberen hoe vaak 0 in de 4 past, en dat is oneindig vaak. WAT GEBEURT ER MET DE GRAFIEK OP DIE PLAATSEN? Dat kunnen we onderzoeken door er vlak in de buurt te kijken. Laten we bijvoorbeeld kijken wat er gebeurt met de grafiek van y = 1 / x vlak in de buurt van x = 0.

x	-1	-0,1	-0,01	-0,001	-0,0000.1		0,0000.1	0,001	0,01	0,1	1
y	-1	-10	-100	-1000	-10000.	×	10000.	1000	100	10	1

/td> Vlak bij x = 0 in de buurt worden de y -waarden heel erg groot (positief of negatief). De grafiek schiet omhoog of omlaag en gaat inderdaad langs een verticale lijn (de asymptoot) lopen. PAS OP: Je grafische rekenmachine tekent meestal de verticale asymptoot óók. Bedenk goed dat die eigenlijk geen deel van de grafiek is!!!!! Hiernaast staat de grafiek van y = 1 / ( x – 2) geplot op de TI-83. De verticale lijn bij x = 2 hoort dus NIET bij de grafiek.

/td> OPGAVEN

1	Geef de horizontale en verticale asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
	a.		e.
	b.		f.
	c.		g.
	d.		h.
				y = -4 en x = -2 en x = -3

/td> 2. Gegeven zijn de functies f a ( x ) door: Druk de vergelijkingen van de asymptoten van de grafieken van deze functies uit in a 3. a. Geef een mogelijke vergelijking van een functie met horizontale asymptoot y = 4 en verticale asymptoot x = 5 b. Geef een mogelijke vergelijking van een functie met horizontale asymptoot y = -2 en verticale asymptoten x = 2 en x = -3 4. Op een middelbare school zullen verkiezingen worden gehouden voor het voorzitterschap van de leerlingenvereniging. Het is een gewilde functie dus er zijn veel kandidaten. Janet is één van de kandidaten en zij besluit om zichzelf te gaan promoten door flyers te gaan uitdelen onder de scholieren met daarop haar actiepunten. Zij ontdekt dat het benodigde aantal flyers (A) om p procent van de leerlingen op haar te laten stemmen gelijk is aan:

/td> a. Hoeveel procent zal op Janet gaan stemmen als ze 500 flyers laat uitdelen? b. Ze wil natuurlijk graag een meerderheid krijgen, en daarvoor zal minstens 50% op haar moeten gaan stemmen. Leg met deze formule uit waarom dat niet realistisch is. 5. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2014. De functie f is gegeven door: De grafiek van f snijdt de y -as in punt A en de x -as in punt B. Punt S is het snijpunt van de asymptoten van de grafiek van f, Zie de figuur. Onderzoek met behulp van een berekening of A, B en S op één lijn liggen. 6. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2017-I. Gegeven is de functie f ( x ) = 5 / (4 x – 6) De grafiek van f wordt a eenheden naar boven verschoven. Zo ontstaat de grafiek van een functie g, De waarde van a kan zowel positief als negatief zijn. De functie g heeft een inverse functie. De grafiek van de inverse functie van g heeft één verticale asymptoot. Ook de grafiek van g heeft een verticale asymptoot. Gegeven is, dat de afstand tussen deze twee verticale asymptoten gelijk is aan 4, Bereken exact de mogelijke waarden van a, 7. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2019-II De functie f wordt gegeven door: De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. In de figuur is de grafiek van f met de beide asymptoten weergegeven. De twee asymptoten snijden elkaar in het punt B, Het punt A is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y -as. Het punt C is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de grafiek van f, Bewijs dat B het midden is van lijnstuk AC,

/td> © h.hofstede ([email protected])

verticale asymptoten

Hoe herken je een scheve asymptoot?

▶ Als graad p asymptoot y = 0 voor zowel x → ∞ als x → −∞. ▶ Als graad p = graad q dan heeft f een horizontale asymptoot y = l voor zowel x → ∞ als x → −∞, waarbij l = 0. ▶ Als graad p = 1+ graad q dan heeft f een scheve asymptoot y = ax + b voor zowel x → ∞ and x → −∞.

Wat is de formule van een horizontale lijn?

Antwoord – De formule van een horizontale lijn als grafiek is in het algemeen y=b. De algemene formule voor een lineair verband is y=ax+b. Hierbij mag a best gelijk aan nul zijn. Je zou kunnen zeggen dat de richtingscofficint gelijk is aan nul. Dus ja! Zie ook Hoe herken je een lineair verband?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts.! maandag 25 augustus 2008

home | vandaag | bijzonder | gastenboek | statistieken | wie is wie? | verhalen | colofon ©2001-2023 WisFaq – versie 3

Hoe bereken je asymptoot tangens?

tangens

Tangens. © h.hofstede ([email protected])

/td> Voor de tangens van een hoek α geldt tan α = sin α / cos α Dat volgt bijvoorbeeld direct al uit sos-cas-toa: Dat tangens een breuk is heeft belangrijke gevolgen voor de grafiek van y = tan x, Immers als de noemer van een breuk nul is, dan bestaat die breuk niet, en dat geeft in de grafiek een verticale asymptoot. Dus op de plaatsen waar cos x = 0 zal de grafiek van tan x een asymptoot hebben. Dat is bij x = 1 / 2 π en x = 1 1 / 2 π (en natuurlijk dan ook 2 1 / 2 π, 3 1 / 2 π, enz.). De tangensgrafiek ziet er daarom uit als hieronder: Je ziet dat de periode van deze grafiek niet 2 π is zoals bij sin x en cos x, maar π, Vergelijkingen met tangens. Dat periodiek zijn van de grafiek heeft gevolgen voor het oplossen van vergelijkingen. Als je moet oplossen tan x = a dan kun je één oplossing natuurlijk makkelijk vinden met x = tan -1 a, net zoals bij sinus en bij cosinus. Maar omdat de periode van de tangensgrafiek gelijk is aan π, zijn alle waarden x = tan -1 a + k π óók oplossingen.

tan x = tan a ⇔ x = a + k • π

/td> Voorbeeld. Los op in : 2 + 4tan(2 x + 1) = 10. Geef je antwoord in twee decimalen.2 + 4tan(2 x + 1) = 10 ⇒ 4tan(2 x + 1) = 8 ⇒ tan(2 x + 1) = 2 ⇒ 2 x + 1 = 1,11 + k • π (hier is dus tan -1 (2) gebruikt om die 1,11 te vinden) ⇒ 2 x = 0,11 + k • π ⇒ x = 0,55 + k • 0,5 π Dat geeft in interval vier oplossingen: 0,55 en 2,12 en 3,70 en 5,27. OPGAVEN

1.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef je antwoorden in twee decimalen.
	a.	5 – 2tan(1 – x ) = 8
	b.	2 + tan(2 x + 8) = 12
	c.	4tan 2 x – 16 = 0
	d.	3tan(0,5 x ) = 5 – tan(0,5 x )
2.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef exacte oplossingen.
	a.	2tan 2 x + 1 = 7
	b.	tan 2 x – tan x = 0
	c.	2tan( x – 1 / 2 π ) = 2 / 3 √3
	d.	tan(2 x + π ) = tan( 1 / 3 π + x )
3.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef zo mogelijk exacte oplossingen.
	a.	tan x = 2sin x
	b.	tan x • sin x = cos x
	c.	3tan x + 2cos x = 0
	d.	tan x = 2 / 3 sin2 x
	e.	tan x = 3sin x – sin2 x
	f.	1 / 2 sin2 x = √3cos 2 x
4.
5.	Voor x tussen 0 en 1 / 2 π geldt: als tan x = 3 dan is sin2 x = 0,6 Toon dat aan.
6.
7.	Nee maar: tan1° • tan2° • tan3° •, • tan89° = 1 bewijs dat! Hint: Toon eerst aan dat tan(90º – x ) = 1 / tan x

/td>

8. 9. HINT: gebruik de verdubbelingsformules voor sin x en cos x 10. 11.

© h.hofstede ([email protected])

tangens

Hoe bereken je de perforatie?

Hoe bereken je de y-coördinaat van een perforatie? F_(P(x)) gegeven, namelijk: (Px^2+4px+6)/((x^2+1)(x-2)). Er is één waarde van P waarvoor de functie een perforatie heeft.

Hoe bereken je de asymptoot van een exponentiele functie?

Theorie – Bekijk de applet. De grafiek van de exponentiële functie f ( x ) = b ⋅ g x heeft de volgende karakteristieken:

De grafiek snijdt de y -as in het punt ( 0, b ), Als b > 0 en g > 1, is de grafiek stijgend. Naar links (voor afnemende x ) benadert de grafiek de x -as. Je kunt de functiewaarde zo dicht bij 0 krijgen als je wilt door x voldoende klein te nemen. De x -as is de horizontale asymptoot. Als b > 0 en 0 < g < 1, is de grafiek dalend. Naar rechts (voor toenemende x ) nadert de grafiek naar de x -as, de horizontale asymptoot. Als b < 0 en 0 < g < 1, is de grafiek stijgend. Naar rechts (voor toenemende x ) nadert de grafiek naar de x -as, de horizontale asymptoot. Als b < 0 en g > 1, is de grafiek dalend. Naar links (voor afnemende x ) benadert de grafiek de x -as, de horizontale asymptoot. Als g = 1 is de grafiek de horizontale lijn y = b,

De exponentiële vergelijkingen zoals b ⋅ g x = a los je op met de grafische rekenmachine. Bij exponentiële ongelijkheden gebruik je bovengenoemde eigenschappen.

Hoeveel asymptoten kan een functie hebben?

Opmerkingen – 5) Grafiek van een kromme die zijn asymptoot een oneindig aantal keer snijdt

• Een kromme kan meerdere verticale asymptoten hebben. Als we functies beschouwen, zijn deze daar niet,
• Men kan op oneindig geen verschillende asymptoten hebben. Omdat er zowel op positief als op negatief oneindig een asymptoot kan voorkomen, is het aantal van dit type asymptoten beperkt tot twee. Het is dus bijvoorbeeld mogelijk dat een kromme zowel een horizontale als een schuine asymptoot heeft, al moeten deze dan wel aan verschillende kanten van de y-as liggen.
• Aan de hand van de gegeven voorbeelden zou men kunnen denken dat een kromme zijn asymptoot nooit snijdt, maar op oneindig raakt, Hoewel dit vaak het geval is, zeker voor functies, hoeft dit niet zo te zijn. In figuur 5 is een kromme weergegeven die zijn asymptoot oneindig vaak snijdt, maar deze wel (in overeenstemming met de definitie) willekeurig dicht nadert.
• Men onderscheidt in de wiskunde nog andere betekenissen van asymptotisch gedrag ; dit is afhankelijk van de context. In verschillende gevallen heten f en g asymptotische krommen voor x gaande naar oneindig als:

1. f ( x ) − g ( x ) naar 0 gaat.
2. f ( x ) / g ( x ) naar 1 gaat.
3. f ( x ) / g ( x ) een eindige limiet heeft, verschillend van 0.
4. f ( x ) / g ( x ) begrensd is, maar niet naar 0 gaat.

Overgenomen van “” : Asymptoot

Hebben logaritmische functies asymptoten?

Theorie – Veel functies hebben asymptoten. Er zijn verschillende soorten:

horizontale asymptoten : Een functie `f` heeft een horizontale asymptoot `y = c` als er een constante waarde `c` bestaat waarvoor `lim_(x rarr text(-)oo)f(x) = c` en/of `lim_(x rarr oo)f(x) = c`, Gebroken functies (standaardvorm `y = 1/(x^n)` met `n gt 0` en geheel) en exponentiële functies (standaardvorm `y = g^x` ) hebben een horizontale asymptoot. verticale asymptoten : Een functie `f` heeft een verticale asymptoot `x = a` als er een constante waarde `a` bestaat waarvoor `lim_(x uparrow a)f(x) rarr text(-)oo` of `lim_(x uparrow a)f(x) rarr oo` en/of `lim_(x downarrow a)f(x) rarr text(-)oo` of `lim_(x downarrow a)f(x) rarr oo`, Gebroken functies, logaritmische functies (standaardvorm `y = \ ^g log(x)` ) en de tangensfunctie hebben verticale asymptoten. scheve asymptoten : Een functie `f` heeft een scheve asymptoot `y=ax+b` als `lim_(x rarr text(-)oo)f(x) – (ax+b) = 0` en/of `lim_(x rarr oo)f(x) – (ax+b) = 0`, Bij gebroken functies kun je vaak de schuine asymptoot vinden door het functievoorschrift te herleiden.

Sommige functies hebben een perforatie, Een functie `f` heeft een perforatie met coördinaten `(a, c)` als `f(a)` niet gedefinieerd is en er een constante waarde `c` bestaat waarvoor `lim_(x uparrow a)f(x) = lim_(x downarrow a)f(x) = c `,

Wat is Asymptotisch gedrag?

Theorie – Bij grafieken komt regelmatig asymptotisch gedrag voor: als je ver genoeg van de oorsprong komt, gaat de grafiek steeds dichter in de buurt van een lijn lopen. Een verticale asymptoot in een grafiek kun je vaak goed in de functie herkennen: een invoerwaarde waarbij je door `0` moet delen, veroorzaakt vaak zo’n asymptoot.

als horizontale asymptoot de lijn `y=0`, want voor grote en kleine (erg negatieve) waarden van `x` naderen de functiewaarden naar `0` ; als verticale asymptoot de lijn `x=0`, want dit getal heeft geen functiewaarde (je kunt niet door `0` delen) en vlak in de buurt van `0` worden de functiewaarden heel groot of heel klein (erg negatief).

Het domein van `f` zijn alle getallen behalve `0` : `text(D)_(f)=⟨ ←, 0 ⟩ ∪ ⟨ 0, → ⟩`, Het bereik van `f` zijn alle getallen behalve `0` : `text(B)_(f)= ⟨ ←, 0 ⟩ ∪ ⟨ 0, → ⟩`, Als je de grafiek van een functie goed in beeld hebt, zijn alle karakteristieken zichtbaar (op het gewenste domein). Dat kunnen zijn:

de snijpunten met de assen ; de asymptoten ; de toppen,

Hoe heet de grafiek van een gebroken functie?

Een gebroken functie is een functie waarbij de variabele waarin je geïnteresseerd bent in de noemer van een breuk staat. – Er is dus sprake van een formule waarbij er een letter in de noemer van een breuk staat. Hieronder leggen we je uit hoe een gebroken functie eruit ziet, wat een asymptoot is en hoe je rekent met een gebroken functie. De meest eenvoudige gebroken functie is: f(x) = 1 ÷ x Dit noem je ook wel de standaardfunctie. Bij elke functie kan je een grafiek maken. Deze standaard-grafiek bestaat uit twee lijnen, die laten zien langs welke lijn de grafiek zal gaan verlopen. Dit noem je ook wel asymptoten (de rode lijnen in het onderstaande plaatje). Bij de standaard gebroken functie heet de grafiek een ‘hyperbool’. Bij positieve getallen kun je uit de hyperbool aflezen dat naarmate de waarde van x groter wordt, de waarde van y kleiner wordt. Deze waarde is bij een heel groot getal voor x bijna 0, maar zal nooit exact 0 zijn! Breuken bij elkaar optellen Om meerdere breuken binnen een functie bij elkaar op te tellen, moet je ze gelijknamig maken. Dit betekent dat de noemer van beide breuken hetzelfde moet zijn. Als voorbeeld gebruiken we de volgende som: Je kunt de noemers van de breuken gelijknamig maken door de keer elkaar te doen. Hierbij doe je de noemer van de ene breuk keer de teller én de noemer van de andere breuk, en andersom: Je hebt nu twee gebroken functies bij elkaar opgeteld die een verschillende noemer hebben. Oefenen: Tel de volgende breuken bij elkaar op. Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar: Hoe reken je met breuken? Rekenvolgorde Wat zijn asymptoten?

Wat is het Randpunt?

Antwoord – Een randpunt van een grafiek is een punt aan een uiteinde. Die heb je dus bij een beperkt domein met een eindpunt dat erbij hoort (dus een interval met een vierkante haak). Bijvoorbeeld de functie f(x)=√x heeft een randpunt in (0,0), meer bepaald een randminimum.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts.! donderdag 18 mei 2006

home | vandaag | bijzonder | gastenboek | statistieken | wie is wie? | verhalen | colofon ©2001-2023 WisFaq – versie 3

Hoe bereken je limiet naar oneindig?

Theorie – Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere positieve waarden van `x` een getal `a` steeds dichter benaderen, dan heet `a` de limiet van `f` als `x` oneindig nadert. Je schrijft dit zo: `lim_(x→∞)f(x)=a`, Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere negatieve waarden van `x` een getal `b` steeds dichter benaderen, dan schrijf je: `lim_(x→text(-)∞)f(x)=b`, In dit geval zijn de lijnen `y=a` en `y=b` horizontale asymptoten van de grafiek van `f`, Vaak zijn `a` en `b` gelijk, maar niet altijd. Ook kunnen deze limieten `±∞` naderen. Soms is er dan sprake van een scheve asymptoot, Dat is een rechte lijn `y=ax+b` met `a ne 0` die de grafiek van `f` steeds dichter benadert naarmate `x` steeds groter of kleiner wordt. Bekijk de scheve asymptoot in Voorbeeld 2, Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` steeds grotere positieve onbeperkte waarden aannemen (als `x` een getal `c` steeds dichter benadert) dan schrijf je: `lim_(x↓c)f(x)=∞` als `x gt c` en `lim_(x↑c)f(x)=text(-)∞` als `x lt c`, De eerste van deze twee limieten noem je wel de rechter limiet voor `x` nadert `c`, Dit wordt ook wel uitgedrukt als: `x` nadert `c` “van boven”, De tweede limiet is dan de linker limiet voor `x` nadert `c` “van onderen”, Is er sprake van steeds grotere negatieve onbeperkte functiewaarden, dan schrijf je `text(-) ∞` in plaats van `∞`, Nu is de lijn `x=c` een verticale asymptoot van functie `f`, Bij functies van de vorm `f(x)=1/x^n` met `n=1, 2, 3, 4,.` zijn de limieten bekend. Onthoud: `lim_(x→∞)1/x^n=0` `lim_(x→text(-) ∞)1/x^n=0` `lim_(x↓0) 1/x^n=∞` `lim_(x↑0) 1/x^n=∞` als `n` even is `lim_(x↑0) 1/x^n=text(-)∞` als `n` oneven is

Wat is de formule voor een verticale lijn?

De verticale verplaatsing is de toename van de tweede coördinaat y ; die noemen we Δ y, De horizontale verplaatsing is de toename van de eerste coördinaat x ; die noemen we Δ x, De richtingscoëfficiënt ( rc of rico ) van de lijn wordt gegeven door Δ y Δ x, Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. De grafiek van de vergelijking y = a x + b is een rechte lijn. De factor a (waarmee x wordt vermenigvuldigd) is de richtingscoëfficiënt van de lijn. De richtingscoëfficiënt geeft aan hoeveel de y verandert als de x met één toeneemt. Het getal b is de tweede coördinaat van het snijpunt van de lijn met de y -as.

Bepaal eerst de richtingscoëfficiënt: a = Δ y Δ x = ‐ 3 − ‐ 9 3 − ‐ 6 = 6 9 = 2 3, Je weet nu: y = 2 3 x + b, Bepaal b door de coördinaten van bijvoorbeeld punt A in te vullen: ‐ 3 = 2 3 ⋅ 3 + b, dus b = ‐5, Het antwoord: y = 2 3 x − 5, Controleer je antwoord met behulp van punt B : 2 3 ⋅ ‐ 6 − 5 = ‐ 4 − 5 = ‐ 9 en dat klopt.

sinus, cosinus en tangens

tan(α) = overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde	sin(α) = overstaande rechthoekszijde schuine zijde	cos(α) = aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
‘TOA’	‘SOS’	‘CAS’

Hellingshoek, richtingscoëfficiënt en hellingspercentage α is de hellingshoek van een rechte lijn; α ≠ 90 °, Dan geldt: richtingscoëfficiënt = tan(α). Voor een helling geldt:

hellingspercentage = hoogteverschil afstand   horizontaal ⋅ 100 %.

Voor een helling met hellingshoek α geldt:

hellingspercentage = tan(α) ⋅ 100 %.

Nog meer over rechte lijnen Vergelijkingen van de vorm a x + b y = c geven als grafiek ook rechte lijnen.

a = 0 geeft een horizontale lijn. b = 0 geeft een verticale lijn. Door de formule om te schrijven in de vorm y =, krijg je: rc = ‐ a b

Punten P, Q en R liggen op een lijn als geldt rc P Q = rc Q R ( = rc P R ). Snijpunten van twee rechte lijnen bereken je door beide vergelijkingen in de vorm y =, te schrijven en dan aan elkaar gelijk te stellen. Of door de ene vergelijking in de andere te substitueren,

• Voorbeeld: Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijkingen 3 x + 4 y = 9 en 5 x − 2 y = ‐ 11,
• Oplossing (beide omzetten) Omschrijven: y = ‐ 3 4 x + 9 4 en y = 2 1 2 x + 5 1 2 Gelijkstellen: 2 1 2 x + 5 1 2 = ‐ 3 4 x + 9 4 Breuken weg (alles keer 4 ): 10 x + 22 = ‐ 3 x + 9 Verder oplossen: → 13 x = ‐ 13 → x = ‐ 1 Invullen in één van beide vergelijkingen geeft y = 3,

Antwoord: het snijpunt is ( ‐ 1,3 ), Oplossing (substitutie-methode) Tweede vergelijking omschrijven: y = 2 1 2 x + 5 1 2 Substitueren: 3 x + 4 ( 2 1 2 x + 5 1 2 ) = 9 Verder oplossen: → 3 x + 10 x + 22 = 9 →, → x = ‐ 1 Invullen in y = 2 1 2 x + 5 1 2 geeft y = 3,

Antwoord: het snijpunt is ( ‐ 1,3 ), De gemiddelde helling van een grafiek tussen twee punten bereken je door de richtingscoëffciënt te berekenen van het lijnstukje dat de twee punten met elkaar verbindt. De helling in een punt op een grafiek bepaal je door in dat punt de raaklijn te tekenen en van deze raaklijn de richtingscoëfficiënt te berekenen.

We kennen 6 soorten van stijgen en dalen:

Hoe bereken je de asymptoot van een exponentiele functie?

Theorie – Bekijk de applet. De grafiek van de exponentiële functie f ( x ) = b ⋅ g x heeft de volgende karakteristieken:

De grafiek snijdt de y -as in het punt ( 0, b ), Als b > 0 en g > 1, is de grafiek stijgend. Naar links (voor afnemende x ) benadert de grafiek de x -as. Je kunt de functiewaarde zo dicht bij 0 krijgen als je wilt door x voldoende klein te nemen. De x -as is de horizontale asymptoot. Als b > 0 en 0 < g < 1, is de grafiek dalend. Naar rechts (voor toenemende x ) nadert de grafiek naar de x -as, de horizontale asymptoot. Als b < 0 en 0 < g < 1, is de grafiek stijgend. Naar rechts (voor toenemende x ) nadert de grafiek naar de x -as, de horizontale asymptoot. Als b < 0 en g > 1, is de grafiek dalend. Naar links (voor afnemende x ) benadert de grafiek de x -as, de horizontale asymptoot. Als g = 1 is de grafiek de horizontale lijn y = b,

De exponentiële vergelijkingen zoals b ⋅ g x = a los je op met de grafische rekenmachine. Bij exponentiële ongelijkheden gebruik je bovengenoemde eigenschappen.

Hoe bereken je asymptoot tangens?

tangens

Tangens. © h.hofstede ([email protected])

/td> Voor de tangens van een hoek α geldt tan α = sin α / cos α Dat volgt bijvoorbeeld direct al uit sos-cas-toa: Dat tangens een breuk is heeft belangrijke gevolgen voor de grafiek van y = tan x, Immers als de noemer van een breuk nul is, dan bestaat die breuk niet, en dat geeft in de grafiek een verticale asymptoot. Dus op de plaatsen waar cos x = 0 zal de grafiek van tan x een asymptoot hebben. Dat is bij x = 1 / 2 π en x = 1 1 / 2 π (en natuurlijk dan ook 2 1 / 2 π, 3 1 / 2 π, enz.). De tangensgrafiek ziet er daarom uit als hieronder: Je ziet dat de periode van deze grafiek niet 2 π is zoals bij sin x en cos x, maar π, Vergelijkingen met tangens. Dat periodiek zijn van de grafiek heeft gevolgen voor het oplossen van vergelijkingen. Als je moet oplossen tan x = a dan kun je één oplossing natuurlijk makkelijk vinden met x = tan -1 a, net zoals bij sinus en bij cosinus. Maar omdat de periode van de tangensgrafiek gelijk is aan π, zijn alle waarden x = tan -1 a + k π óók oplossingen.

tan x = tan a ⇔ x = a + k • π

/td> Voorbeeld. Los op in : 2 + 4tan(2 x + 1) = 10. Geef je antwoord in twee decimalen.2 + 4tan(2 x + 1) = 10 ⇒ 4tan(2 x + 1) = 8 ⇒ tan(2 x + 1) = 2 ⇒ 2 x + 1 = 1,11 + k • π (hier is dus tan -1 (2) gebruikt om die 1,11 te vinden) ⇒ 2 x = 0,11 + k • π ⇒ x = 0,55 + k • 0,5 π Dat geeft in interval vier oplossingen: 0,55 en 2,12 en 3,70 en 5,27. OPGAVEN

1.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef je antwoorden in twee decimalen.
	a.	5 – 2tan(1 – x ) = 8
	b.	2 + tan(2 x + 8) = 12
	c.	4tan 2 x – 16 = 0
	d.	3tan(0,5 x ) = 5 – tan(0,5 x )
2.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef exacte oplossingen.
	a.	2tan 2 x + 1 = 7
	b.	tan 2 x – tan x = 0
	c.	2tan( x – 1 / 2 π ) = 2 / 3 √3
	d.	tan(2 x + π ) = tan( 1 / 3 π + x )
3.	Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval, Geef zo mogelijk exacte oplossingen.
	a.	tan x = 2sin x
	b.	tan x • sin x = cos x
	c.	3tan x + 2cos x = 0
	d.	tan x = 2 / 3 sin2 x
	e.	tan x = 3sin x – sin2 x
	f.	1 / 2 sin2 x = √3cos 2 x
4.
5.	Voor x tussen 0 en 1 / 2 π geldt: als tan x = 3 dan is sin2 x = 0,6 Toon dat aan.
6.
7.	Nee maar: tan1° • tan2° • tan3° •, • tan89° = 1 bewijs dat! Hint: Toon eerst aan dat tan(90º – x ) = 1 / tan x

/td>

8. 9. HINT: gebruik de verdubbelingsformules voor sin x en cos x 10. 11.

© h.hofstede ([email protected])

tangens

Hoe bereken je de perforatie?

Hoe bereken je de y-coördinaat van een perforatie? F_(P(x)) gegeven, namelijk: (Px^2+4px+6)/((x^2+1)(x-2)). Er is één waarde van P waarvoor de functie een perforatie heeft.